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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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1.
Calcular el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ centrado en $x_{0}$:
d) $f(x)=\cos (x), n=5, x_{0}=0$
d) $f(x)=\cos (x), n=5, x_{0}=0$
Respuesta
Después del horror que acabamos de vivir en el item anterior, este es un regalo 😍
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Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $5$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=\cos (x)$
Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \frac{f'''''(0)}{5!}x^5 $
Arrancamos entonces:
\( f(x) = \cos(x) \)
\( f(0) = \cos(0) = 1 \).
\( f'(x) = -\sin(x) \)
\( f'(0) = -\sin(0) = 0 \).
\( f''(x) = -\cos(x) \)
\( f''(0) = -\cos(0) = -1 \).
\( f'''(x) = \sin(x) \)
\( f'''(0) = \sin(0) = 0 \).
\( f^{IV}(x) = \cos(x) \)
\( f^{IV}(0) = \cos(0) = 1 \).
\( f^{V}(x) = -\sin(x) \)
\( f^{V}(0) = -\sin(0) = 0 \)
Listoooo! Reemplazamos en la estructura de nuestro Taylor y nos queda:
$ p(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 $
$ p(x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 $
y este es el polinomio de Taylor que estábamos buscando 😊